DEFAULT 

Конические сечения и их применение в технике реферат

wiinanruca 0 comments

Закрепим один конец нити длиной AB в вершине B треугольника, а другой — в фокусе параболы F. Конические сечения: окружность 1 , эллипс 2 , парабола 3 , гипербола 4. Дальнейшиеисследования таких называемых центральными конические сечения показывают, чтоих уравнения могут быть приведены к ещё более простому виду:. А можно воспользоваться циркулем: меняя его раствор, легко нарисовать целое семейство окружностей. Ещё Аристотель в IV веке до н.

Эта формула предполагает построение прямоугольного треугольника с катетами Ov1и V2O игипотенузой F2O. Расположимлинейку так, чтобы ее край совпал с директрисой, и приложим к этому краю катет ACчертежного треугольника ABC.

Реферат: Конические сечения

Закрепим один конец нити длиной AB ввершине Bтреугольника, а другой — в фокусе параболы F. Натянув остриемкарандаша нить, прижмем острие в переменной точке P к свободному катету ABчертежного треугольника. Для эллипса и гиперболы фокальный параметр определяется аналогично.

Валгебраических терминах конические сечения можно определить как плоские кривые,координаты которых в декартовой системе координат удовлетворяют уравнениювторой степени. Иначе говоря, уравнение конические сечения и их применение в технике реферат конических сечений можно записатьв общем, виде. С помощью параллельного переноса и поворотаосей уравнение 1 можно привести к виду. Конические сечения, уравнения которых приводятся к первому виду,называются центральными.

В рамках этих двух категорийсуществуют девять различных типов конических сечений в зависимости от знаковкоэффициентов. В этом случаеговорят, что коническое сечение состоит из двух мнимых параллельных прямых.

Конические сечения частовстречаются в природе и технике. Например, орбиты планет, обращающихся вокругСолнца, имеют форму эллипсов.

Окружность представляет собой частный случайэллипса, у которого большая ось равна малой. Параболическое зеркало обладаеттем свойством, что все падающие лучи, параллельные его оси, сходятся в однойточке фокусе. Исследование форм поверхности методом сечений плоскостями, построение линии, полученной в сечениях. Построение поверхности в канонической системе координат. О происхождении задачи удвоения куба одной из пяти знаменитых задач древности.

Первая известная попытка решения задачи, решение Архита Тарентского. Решение задачи в Древней Греции после Архита. Решения с помощью конических сечений Менехма и Эратосфена.

1440703

Определение центра тяжести сечения. Вычисление, при каком значении момента Х угол поворота правого концевого сечения вала равно нулю, построение эпюры крутящих моментов.

Расчет значений осевых и центробежных моментов инерции, построение схемы сечения. Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т. Рекомендуем скачать работу и оценить ее, кликнув по соответствующей звездочке. Они находятся на одинаковом расстоянии, равном. Эта формула предполагает построение прямоугольного треугольника с катетами Ov 1 и V 2 O и гипотенузой F 2 O.

Если асимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны, то гипербола называется равнобочной. Две гиперболы, имеющие общие асимптоты, но с переставленными поперечной и сопряженной осями, называются взаимно сопряженными. Фокусы эллипса и гиперболы были известны еще Аполлонию, но фокус параболы, по-видимому, впервые установил Папп 2-я пол.

Находят общие точки фигуры сечения с заданной прямой; 4. Получившаяся кривая будет параболой. Ветвигиперболы приближаются к двум прямым, которые пересекаются между ветвями.

Построение параболы с помощью натянутой нити, основанное на определении Паппа, было предложено Исидором Милетским 6. Закрепим один конец нити длиной AB в вершине B треугольника, а другой — в фокусе параболы F.

Натянув острием карандаша нить, прижмем острие в переменной точке P к свободному катету AB чертежного треугольника. Точка пересечения V параболы с осью называется вершиной параболы, прямая, проходящая через F и V— осью параболы.

Конические сечения и их применение в технике реферат 4110022

Если через фокус провести прямую, перпендикулярную оси, то отрезок этой прямой, отсекаемый параболой, называется фокальным параметром. Для эллипса и гиперболы фокальный параметр определяется аналогично. Конические сечения и их применение в технике реферат фокуса параболы навело Паппа на мысль дать альтернативное определение конических сечений в целом. Это отношение называется эксцентриситетом e конического сечения. Если F лежит на Lто геометрические места имеют вид прямых действительных или мнимыхкоторые являются вырожденными коническими сечениями.

Бросающаяся в глаза симметрия эллипса и гиперболы говорит о том, что у каждой из работа транспортные сети кривых есть по две директрисы и по два фокуса, и это обстоятельство навело Кеплера в на мысль, что и у параболы существует второй фокус и вторая директриса — бесконечно удаленные точка и прямая. Точно также и окружность можно рассматривать как эллипс, фокусы которого совпадают с конические сечения и их применение в технике реферат, а директрисы находятся в бесконечности.

Эксцентриситет e в этом случае равен нулю. Фокусы и директрисы конического сечения можно наглядно продемонстрировать, если воспользоваться сферами, вписанными в конус и называемыми сферами шарами Данделена в честь бельгийского математика и инженера Ж. Данделена —предложившего следующую конструкцию. Пусть коническое сечение образовано пересечением некоторой плоскости p с двухполостным прямым круговым конусом с вершиной в точке O.

Впишем в этот конус две сферы S 1 и S 2которые касаются плоскости p в точках F 1 и F 2 соответственно. Если коническое сечение — эллипс рис. Каждая образующая конуса касается обеих сфер, и геометрическое место точек касания имеет вид двух окружностей C 1 и C 2расположенных в параллельных плоскостях p 1 и p 2. Пусть P — произвольная точка на коническом сечении. Эти прямые — касательные к сферам в точках F 1F 2 и R 1R 2.

Так как плоскости p 1 и p 2 параллельны, отрезок R 1 R 2 имеет постоянную длину. Следовательно, точки F 1 и F 2 — фокусы эллиптического сечения. Кроме того, можно показать, что прямые, по которым плоскость p пересекает плоскости p 1 и p 2— директрисы построенного эллипса. Если p пересекает обе полости конуса рис. Каждая из образующих представляет собой гипотенузу вращающегося треугольника в известном его положениипродолженную в обе стороны до бесконечности. Таким образом, каждая образующая простирается по обе стороны от вершины, вследствие чего и поверхность имеет две полости: они сходятся в одну точку в общей вершине.

Если такую поверхность пересечь плоскостью, то в сечении получится кривая, которая и называется коническим сечением.

Островитяне изготовили новый жертвенник, ребра которого были вдвое больше ребер прежнего. Позже греки заметили, что все три кривые можно получить на одном конусе, изменяя наклон секущей плоскости.

Если секущая плоскость параллельна производящей окружности, то получается окружность, которая может быть рассматриваема как частный случай эллипса. Секущая плоскость может пересекать коническую поверхность только в одной вершине, тогда в сечении получается точка, как частный случай эллипса. Если плоскостью, проходящей через вершину, пересекаются обе полости, то в сечении получается пара пересекающихся прямых, рассматриваемая как частный случай гиперболы.

Конические сечения. Введение

Если вершина бесконечно удалена, то коническая поверхность обращается в цилиндрическую, и сечение ее плоскостью, параллельной образующим, дает пару параллельных прямых как частный случай параболы. Виды конических сечений.

Конические сечения и их применение в технике реферат 1567

В тех случаях, когда конические сечение имеет центр симметрии центрт. Если А и В темы дипломной работы гму одинаковые знаки совпадающие со знаком Сто уравнение определяет эллипс; если А и В разного знака, то — гиперболу.

Изучая конические сечения как пересечения плоскостей и конусов, древнегреческие математики рассматривали их и как траектории точек на плоскости. Было установлено, что эллипс можно определить как геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек постоянна; параболу — как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки и заданной прямой; гиперболу — как геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух заданных точек постоянна.

Если секущая плоскость параллельна производящей окружности, то получается окружность, которая может быть рассматриваема как частный случай эллипса. Секущая плоскость может пересекать коническую поверхность только в одной вершине, тогда в сечении получается точка, как частный случай эллипса.

Если плоскостью, проходящей через вершину, пересекаются обе плоскости, то в сечении получается пара пересекающихся прямых, рассматриваемая как частный случай гиперболы. Если вершина бесконечно удалена, то коническая поверхность обращается в цилиндрическую, и сечение ее плоскостью, параллельной образующимдает пару параллельных прямых как частный случай параболы.

Конические сечения выражаются уравнениями 2-го порядка, общий вид. В тех случаях, когда конические сечение имеет центр симметрии центрт. Дальнейшие исследования таких называемых центральными конические сечения показывают, что их уравнения могут быть приведены к ещё более простому виду:.

Если А и В имеют одинаковые знаки совпадающие со знаком Сто уравнение определяет эллипс; если А и В разного знака, то - гиперболу. При надлежащем выборе осей координат одна ось координат - единственная ось симметрии параболы, другая - перпендикулярная к ней прямая, проходящая через вершину параболы её уравнение можно привести к виду:.

Определения Паппа. Установление фокуса параболы навело Паппа на мысль дать альтернативное определение конических сечений в целом. Тогда, как показал Папп, конические сечения определяются как геометрические места точек P, для которых отношение DF:DL конические сечения и их применение в технике реферат неотрицательной постоянной.

Это отношение называется эксцентриситетом e конического сечения. Если F лежит на L, то геометрические места имеют вид прямых действительных или мнимыхкоторые являются вырожденными коническими сечениями. Бросающаяся в глаза симметрия эллипса и гиперболы говорит о том, что у каждой из этих кривых есть по две директрисы и по два фокуса, и это обстоятельство навело Кеплера в на мысль, что и у параболы существует второй фокус и вторая директриса - бесконечно удаленные точка и прямая.

Точно также и конические сечения и их применение в технике реферат можно рассматривать как эллипс, фокусы которого совпадают с центром, а директрисы находятся в бесконечности. Эксцентриситет e в этом случае равен нулю. Свойства конических сечений поистине неисчерпаемы, и любое из них можно принять за определяющее.

Важное место в Математическом собрании Паппа, Геометрии Декарта и Началах Ньютона занимает задача о геометрическом месте точек относительно четырех прямых. Если на плоскости заданы четыре прямые L 1L 2L 3 и L4 две из которых могут совпадать о пушкином детстве точка P такова, что произведение расстояний от P до L 1 и L 2 пропорционально произведению расстояний от P до L 3 и L 4то геометрическое место точек P является коническим сечением.

Изучая конические сечения как пересечения плоскостей и конусов, древнегреческие математики рассматривали их и как траектории точек на плоскости.

Было установлено, что эллипс можно определить как геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек постоянна; параболу — как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки и заданной прямой; гиперболу — как геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух заданных точек постоянна. Эти определения конических сечений как плоских кривых подсказывают и способ их построения с помощью натянутой конические сечения и их применение в технике реферат.

Если концы нити заданной длины закреплены в точках F 1 и F 2 рис. Точки F 1 и F2 называются фокусами эллипса, а отрезки V 1 V 2 и v 1 v 2 между точками пересечения эллипса с осями координат — большой и малыми осями.

Если точки F 1 и F 2 совпадают, то эллипс превращается в окружность Рис. При построении гиперболы точка P, острие карандаша, фиксируется на нити, которая свободно скользит по шпенькам, установленным в точках F 1 и F 2как показано на рисунке 4, а, расстояния подобраны так, что отрезок PF 2 превосходит по длине отрезок PF 1 на фиксированную величину, меньшую расстояния F 1 F 2.

При этом один конец нити проходит под шпеньком F 1и оба конца нити проходят поверх шпенька F 2. Острие карандаша не должно скользить по нити, поэтому его нужно закрепить, сделав на нити маленькую петлю и продев в нее острие.

Одну ветвь гиперболы PV 1 Q мы вычерчиваем, следя за тем, чтобы нить оставалась все время натянутой, и, потягивая оба конца нити вниз за точку F 2а когда точка P окажется ниже отрезка F 1 F 2придерживая нить за оба конца и осторожно отпуская.

Формат оформления дипломной работы48 %
Курсовая работа образец 201510 %

Вторую ветвь гиперболы мы вычерчиваем, предварительно поменяв шпеньки F 1 и F 2 Рис. Ветви гиперболы приближаются к двум прямым, которые пересекаются между ветвями. Эти прямые, называемые асимптотами гиперболы. Угловые коэффициенты этих прямых равны где — отрезок биссектрисы угла между асимптотами, перпендикулярной отрезку F 2 F 1 ; отрезок v 1 v 2 называется сопряженной осью гиперболы, а отрезок V 1 V конические сечения и их применение в технике реферат — ее поперечной осью.

Таким образом, асимптоты являются диагоналями прямоугольника со сторонами, проходящими через четыре точки v 1v 2V 1V 2 параллельно осям. Чтобы построить этот прямоугольник, необходимо указать местоположение точек v 1 и v 2.

Они находятся на одинаковом расстоянии, равном от точки пересечения осей O. Эта формула предполагает построение прямоугольного треугольника с катетами Ov 1 и V 2 O и гипотенузой F 2 O. Если асимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны, то гипербола называется равнобочной. Две гиперболы, имеющие общие асимптоты, но с переставленными поперечной и сопряженной осями, называются взаимно сопряженными. Фокусы эллипса и гиперболы были известны конические сечения Аполлонию, но фокус параболы, по-видимому, впервые установил Папп вторая пол.

III. Построение параболы с помощью натянутой нити, основанное на определении Паппа, было предложено Исидором Милетским VI. Алгебраическая классификация. В алгебраических терминах конические сечения можно определить как плоские кривые, координаты которых в декартовой системе координат удовлетворяют уравнению второй степени. Иначе говоря, уравнение всех конических сечений можно записать в общем, виде как где не все коэффициенты A, B и C равны нулю.

С помощью параллельного переноса и поворота свободное время школьника доклад уравнение 1 можно привести к виду.

Конические сечения, уравнения которых приводятся к первому виду, называются центральными. В рамках этих двух категорий существуют девять различных типов конических сечений в зависимости от знаков коэффициентов.

В этом случае говорят, что коническое сечение состоит из двух мнимых параллельных прямых. Конические сечения часто реферат в природе и технике. Например, орбиты планет, обращающихся вокруг Солнца, имеют форму эллипсов. Окружность представляет собой частный случай эллипса, у которого большая ось равна малой.

Параболическое зеркало обладает тем свойством, что все падающие лучи, параллельные его оси, сходятся в одной точке фокусе. Это используется в большинстве телескопов-рефлекторов, где применяются параболические зеркала, а также в антеннах радаров и специальных микрофонах с параболическими отражателями.

От источника света, помещенного в фокусе параболического отражателя, исходит пучок параллельных лучей. Поэтому в мощных прожекторах и автомобильных фарах используются параболические зеркала. Гипербола является графиком многих важных физических соотношений, например, закона Бойля связывающего давление и объем идеального газа и закона Ома, задающего электрический ток как функцию сопротивления при постоянном напряжении. Все тела Солнечной системы движутся вокруг Солнца по эллипсам.

Небесные тела, попадающие в Солнечную систему из других звездных систем, движутся вокруг Солнца по гиперболической орбите и, если на их движение не оказывают существенного конические сечения и их применение в технике реферат планеты Солнечной системы, покидают се по этой же орбите.

По применение движутся вокруг Земли ее искусственные спутники и естественный спутник — Луна, а космические корабли, запущенные к другим планетам, движутся по окончании работы двигателей по параболам или гиперболам в зависимости от скорости до тех пор, пока притяжение других планет или Солнца не станет сравнимо с земным притяжением рис.

Задачи: научиться различать виды конических сечений, строить конические сечения, изучить их применение в технике. Разгневанные жители услышали от оракула, что неверно поняли его предписание - удвоить было надо не ребра куба, а его объём. Тогда длина отрезка х будет равна. Поэтому для решения задачи следует отыскать точки их пересечения. При этом следует брать конус, состоящий из двух полостей и мыслить, что они простираются в бесконечность.

Леонардо да Винчи изучал различные траектории и виды сложного движения в природе и технике. За исключением вырожденных случаев коническими сечениями являются эллипсы, гиперболы или параболы. Она может быть трех типов: 1 если плоскость пересекает коническую поверхность по всем образующим, то рассекается только одна полость и в сечении получается замкнутая кривая, называемая эллипсом; 2 если секущая плоскость пересекает обе технике, то реферат в курсовой кривая, имеющая две ветви и называемая гиперболой; 3 если секущая плоскость параллельна одной из образующих, то получается парабола.

Если плоскостью, проходящей через вершину, пересекаются обе полости, то в сечении получается пара пересекающихся прямых, рассматриваемая как частный случай гиперболы. Если вершина бесконечно удалена, то коническая поверхность обращается в цилиндрическую, и сечение ее плоскостью, параллельной образующим, дает пару параллельных прямых как частный случай параболы.

Если концы нити заданной длины закреплены в точках F1 и F2 рис. Точки F1 и F2 называются фокусами эллипса, а отрезки V1V2 и v1v2 между точками пересечения эллипса с осями координат — большой и малыми осями. Если точки F1 и F2 совпадают, то эллипс превращается в окружность.

Конические сечения и их применение в технике реферат 2421

При построении гиперболы точка P, острие карандаша, фиксируется на нити, которая свободно скользит по шпенькам, установленным в точках F1 и F2, как показано на рисунке 4, а, расстояния подобраны так, что отрезок PF2 превосходит по длине отрезок PF1 на фиксированную величину, меньшую расстояния F1F2.

При этом один конец нити проходит под шпеньком F1, и оба конца нити проходят поверх шпенька F2. Одну ветвь гиперболы PV1Q мы вычерчиваем, следя за тем, чтобы нить оставалась все время натянутой, и, потягивая оба конца нити вниз за точку F2, а когда точка P окажется ниже отрезка F1F2, придерживая нить за оба конца и осторожно отпуская.

Вторую ветвь гиперболы мы вычерчиваем, предварительно поменяв шпеньки F1 и F2.